Content of the Course
教学内容
一、教学理念与课程目标
鉴于近现代数学的发展现状，数学类课程的英语化国际化变得越来越重要。如今所有的国际会议、学术交流活动、大型国际竞赛都将英语视为唯一认可的官方语言，大量经典新颖的前沿理论也均以英文形式出版发表。国内的很多重点大学已经开始在本科生教学中大量使用英文教材，并采取英文板书授课的形式，使得学生更早更多的接触到最前沿的专业知识，而且目前的很多社会岗位也急需一批既精通专业又擅长外语的复合型人才。因此我们觉得双语教学课程的设立对人才培养非常重要。
本课程的教学理念是培养具备双语沟通能力和国际视野的数学人才，打破语言束缚，变障碍为有力工具，使学生在学习专业理论知识的同时，又能接触到国外先进思想理论，适应英语授课方式，为将来留学、读研继续深造、参加国际数学竞赛、参加国际学术活动等打下基础，使得学生们更好地适应社会，适应世界的发展。
复变函数理论起源于18世纪欧洲，之后被广泛应用于物理、无线电技术、信号处理等工程技术领域，是一门应用性很强的数学学科。因此，本课程的教学目标是使学生理解复变函数中与原始定义更贴切的英文形式的基本概念、定理和方法，掌握复变函数理论在物理、无线电技术、信号处理等工程技术领域中的应用，积极推行双语教学，充分利用现代化教学手段，实现课堂讨论、多媒体、网络资源、课程网站在教学中的灵活运用，实现教学内容、课程体系、教学方法的国际化、现代化，努力培养学生理解问题、分析问题、解决问题的能力，切忌对概念、定理死记硬背。在每个新概念、新方法引入时，要向学生介绍清楚背景知识，即新概念有什么用、为什么学习、怎么来的、为什么会长这样子，让学生学的通透。
二、 教学内容的选择与安排
复变函数不仅在理论上具有深远的意义和影响，在很多理、工科领域中的应用也极为广泛， 因此我们在选择教学内容的时候，要考虑到既能让学生掌握必要的理论知识，又能让学生了解到它们的应用。结合学时以及我们学院的复合型人才培养目标，我们觉得教学内容不必过于追求全面，关键是取其精华，突出重点，要更多的注重教学质量和学习效果。基于以上分析，我们对具体教学内容和学时安排如下：
l 本课程的基本内容
（一）复数域
1、复数及其运算；
2、复平面、复数的模与辐角；
3、复数的求根公式及应用；
4、复平面上的点集、区域。
要求学生：熟练掌握复数的各种运算、表示法和三角不等式，了解复平面上点集的概念，能熟练应用复数的求根公式。
（二）解析函数
1、复变函数的定义和其映射性质；
2、复变函数的极限、连续、导数；
3、柯西－黎曼条件（C-R条件）；
4、解析函数的概念及基本性质。
要求学生：掌握复变函数的概念，能把复变函数理解为两个实的二元函数，了解复变函数极限、连续、可导的定义，理解复变函数可导与解析的概念，熟练掌握解析函数的C-R条件，并能运用此条件判定函数的解析性。
（三）初等函数
1、指数函数的定义及基本性质；
2、对数函数的定义、性质及其相关恒等式；
3、复幂函数和其相关性质；
4、三角函数定义、相关等式。
要求学生：掌握指数函数、对数函数、复幂函数的定义、基本性质和相关恒等式，熟悉三角函数，掌握它与实变函数的区别与联系。
（四）积分
1、复变函数积分的定义及基本性质；
2、柯西积分定理；
3、柯西积分公式；
4、高阶导数公式。
要求学生：掌握复变函数沿一条逐段光滑曲线积分的定义、基本性质和计算方法，及其与实函数积分的关系，熟练掌握柯西积分定理及其应用，熟练掌握和运用柯西积公式与高阶导数公式。
（五）级数
1、复数项级数的定义、收敛性；
2、泰勒级数的定义、性质及相关例子；
3、洛朗级数的定义、性质及相关例子；
4、幂级数的收敛域、收敛半径、和函数的解析性；
5、幂级数的积分和导数。
要求学生：理解复数项级数的基本概念，掌握收敛性的判别法，掌握幂级数的基本性质和求收敛半径的公式，牢记指数函数、三角函数等重要初等函数的幂级数展开式，并能熟练的运用，理解洛朗级数的概念，会求出一些简单的洛朗级数的收敛域，能熟练的求出一些较简单函数的洛朗展开式。
（六）留数
1、留数的定义和计算；
2、孤立奇点及其分类；
3、极点处的留数及相关应用；
4、解析函数的零点。
要求学生：理解留数的定义，掌握计算留数的方法，会判别极点的种类，计算极点处的留数，了解解析函数零点处的性质。
（七）留数的应用
1、瑕积分的计算；
2、辐角原理、儒歇定理。
要求学生：了解应用留数理论计算瑕积分的基本思想，了解辐角原理的内容，掌握儒歇定理，并会应用它判断方程根的个数。
l 学时安排
本课程共50学时，具体学时分配如下：
| 课程内容 | 理论讲授 | 习题课 | 小计 |
| 复数域 | 4 | 0 | 4 |
| 解析函数 | 4 | 0 | 4 |
| 初等函数 | 3 | 1 | 4 |
| 积分 | 9 | 1 | 10 |
| 级数 | 7 | 1 | 8 |
| 留数 | 10 | 2 | 12 |
| 留数的应用 | 6 | 2 | 8 |
| 合计 | 43 | 7 | 50 |
l Teaching contents
(I) Complex Number Fields
1．Complex numbers and their operations;
2．Complex plane, moduli and arguments of complex numbers;
3．Roots of complex numbers and applications;
4．Point sets and regions on the complex plane.
Grip the operations, representations and the triangle inequality of complex numbers; Understand the concepts of point sets, regions; Use masterly the root formulas of complex numbers.
(II) Analytic Functions
1．Definitions of complex variable functions and their mapping properties;
2.Limits , continuity and derivatives of complex variable functions;
3．Cauchy-Riemann equations(C-R conditions);
4．Concepts and basic properties of analytic functions.
Grip the definitions of functions with complex variables ; Understand the definitions of limits , continuity, derivative of functions with complex variables; Grip how to determine the analytics of functions by using C-R conditions.
(III) Elementary functions
1．Definitions of Exponential functions and their basic properties;
2．Concepts and basic properties and related identities of logarithmic functions;
3．Complex power functions and related properties;
4．Concepts and related identities of trigonometric functions.
Grip the definitions, basic properties and related identities of exponential functions, logarithmic functions and power functions; Be familiar with trigonometric function, and grip the difference and relation between it and real function.
(IV) Integrals
1．Definitions and basic properties of integrals of complex variable functions;
2．Cauchy Integral Theorem;
3．Cauchy Integral Formula;
4．Derivatives of high order formula.
Grip the definitions, basic properties and calculation methods of the integrals of functions following a finite of smooth curves in complex plane; Grip Cauchy Integral Theorem and its applications; Grip and apply the Cauchy Integral Formula and derivatives of high order formula;
(V) Series
1．Definitions and convergence of series of complex numbers;
2．Taylor expansion;
3．Laurent expansion;
4．Convergence disk, convergence radius of power series.
Understand the definitions of series of complex numbers and grip the rules of convergence; Grip the basic properties of power series and the formula of radius of convergence; Remember and use the power expansions of exp(z), sin(z) and cos(z); Understand the definitions of Laurent series and computer the convergence disks of some simple Laurent series; Compute masterly the expansions of some simple Laurent series.
(VI) Residues and Poles
1．Definitions and calculations of residues;
2．The three types of isolated singular points;
3．Residues at poles and applications;
4．Zeros of analytic functions.
Understand the definition of residue and grip how to calculate it; Determine the type of poles, and calculate the residue; Acquire familiarity with the properties of analytic function at zeros.
(VII) Applications of Reside
1．Evaluation of improper integrals;
2．Arguments Principle, Rouche's Theorem.
Hold adroitly the basic idea of evaluating improper integrals by theory of residues; Hold the content of Arguments Principle; Grip expertly the content of Rouche's Theorem and judge the number of roots of equations.
l Period Distribution
| CONTENTS | THEORY | EXCERCISE | SUBTOTAL |
| Complex number field | 4 | 0 | 4 |
| Analytic functions | 4 | 0 | 4 |
| Elementary functions | 3 | 1 | 4 |
| Integrals | 9 | 1 | 10 |
| Series | 7 | 1 | 8 |
| Residues | 10 | 2 | 12 |
| Applications of residues | 6 | 2 | 8 |
| TOTAL | 43 | 7 | 50 |
